Projektive Mengen reeller

Zahlen und Kernmodelle

Ralf-Dieter Schindler

Institut für Formale Logik

Universität Wien

  rds@logic.univie.ac.at
http://www.logic.univie.ac.at/^{∼}rds/

Lebesgue-Meßbarkeit

Für A ⊂ ℝ bezeichne μ^{⋆}(A) das äußere Maß von A.

Def. A ⊂ ℝ heißt Lebesgue-meßbar gdw.: für alle ϵ > 0 existieren F ⊂ A abgeschlossen und G ⊃ A offen mit μ^{⋆}(G \ F) < ϵ.

• Jedes offene A ⊂ ℝ ist Lebesgue-meßbar.

• Die Menge aller Lebesgue-meßbaren Teilmengen von ℝ ist eine σ-Algebra, d.h. abgeschlossen bzgl. Komplement, ⋃_{i∈ℕ} und ⋂_{i∈ℕ}.

Def. A ⊂ ℝ ist eine Borel-Menge gdw.: A ist in der kleinsten σ-Algebra enthalten, in der alle offenen Teilmengen von ℝ liegen.

Satz. Jede Borel-Menge A ⊂ ℝ ist Lebesguemeßbar.

Def. A ⊂ ℝ^{n} heißt Projektion von B ⊂ ℝ^{n+1} gdw.

x⃗ ∈ A ⇔ ∃y (x⃗, y) ∈ B.

Def. A ⊂ ℝ^{n} heißt analytisch gdw.: A ist Projektion einer Borel-Menge (im ℝ^{n+1} ).

Es gibt analytische Mengen, die nicht Borel sind. A ⊂ ℝ^{n} ist eine Borel-Menge gdw. A und ℝ^{n} \ A beide analytisch sind.

Satz (Luzin, 17). Jede analytische Menge A ⊂ ℝ ist Lebesgue-meßbar.

Projektive Mengen

Def.

Σ_{1}^{1} = analytische Mengen Π_{n}^{1} = Komplemente von Σ_{n}^{1}−Mengen Σ_{n+1}^{1} = Projektionen von Π_{n}^{1}−Mengen _{n∈ℕ}^{⋃} Σ_{n}^{1} = _{n∈ℕ}^{⋃} Π_{n}^{1} = Projektive Mengen

Frage (Luzin, 25). Sind alle Projektiven Mengen reeller Zahlen Lebesgue-meßbar?

Die Zermelo-Fraenkelschen Axiome (ZF C) Extensionalität: ∀u(u ∈ x ⇔ u ∈ y) ⇔ x = y Leere Menge: ∅ existiert Paarmenge: für alle x, y existiert {x, y} Vereinigungsmenge: für alle x existiert ⋃ x Potenzmenge: für alle x existiert P(x) Unendlichkeit: es gibt eine unendliche Menge Ersetzung: sei Φ eine definierbare Funktion (nicht notwendig eine Menge!); für alle x existiert Φ”x Fundierung: es gibt keine unendlichen Ketten ... ∈ x_{2} ∈ x_{1} ∈ x_{0} (d.h. die ∈-Relation ist fundiert)

Auswahlaxiom: jedes x kann wohlgeordnet werden (d.h. es existiert eine fundierte totale Ordnung <_{x} auf x)

ℝ kann wohlgeordnet werden ⇒ es gibt eine Menge A reeller Zahlen, die nicht Lebesgue-meßbar ist:

Für x, y ∈ [0, 1] definiere x ∼ y gdw. x − y ∈ ℚ. A ⊂ [0, 1] enthalte genau ein Element aus jeder Äquivalenzklasse. (A heißt Vitalische Menge.)

Vitalische Menge nicht komplizierter als Wohlordnung von ℝ.

Ordinalzahlen

0 = ∅ 1 = {0} ⋮ n + 1 = {0, 1, ..., n} ⋮ ω = {0, 1, 2, ...} ω + 1 = {0, 1, 2, ..., ω} ⋮ α = {β | β < α}

Zu jeder wohlgeordneten Menge (x, <_{x}) existiert eine Ordinalzahl α, so daß

(α, <) ≅ (x, <_{x}).

Gödels Konstruktibles Universum L_{0} = ∅ L_{α+1} = Menge aller über L_{α} mit Hilfe von

Parametern aus L_{α} definierbaren Teilmengen von L_{α}

L_{λ} = ⋃_{α<λ} L_{α} für Limeszahlen λ L = ⋃_{α} L_{α} Satz (Gödel, 38). L ist ein Inneres Modell von ZF C. Satz (Gödel, 38). L enthält eine Wohlordnung < von ℝ, die (als Teilmenge von ℝ^{2}) eine Σ_{2}^{1}-Menge ist.

Satz (Gödel, 38). L enthält eine Σ_{2}^{1}-Menge reeller Zahlen, die nicht Lebesgue-meßbar ist. Insbesondere: Con(ZF C) ⇒ Con(ZF C + es gibt eine projektive Menge reeller Zahlen, die nicht Lebesgue-meßbar ist).

Die Schreibweise Con(Φ) ⇒ Con(Ψ) drückt aus, daß die Konsistenz von Φ diejenige von Ψ impliziert, d.h., daß Ψ relativ konsistent mit Φ ist.

Kardinalzahlen

Ordinalzahlen α, zu denen es kein gleichmächtiges β < α gibt, heißen Kardinalzahlen.

0, 1, 2, 3, ..., ω, ω_{1}, ω_{2}, ..., ω_{ω}, ..., κ = ω_{κ}, ...

Def. κ heißt unerreichbar gdw.: κ > ω, ∀α < κ 2^{α} < κ, und κ ist regulär.

Def. H_{κ} = alle x, so daß für alle x_{n} ∈ x_{n−1} ∈ ... ∈ x_{0} ∈ x gilt: x_{n} ist von geringerer Mächtigkeit als κ.

In ZF C ist die Existenz einer unerreichbaren Kardinalzahl nicht beweisbar, da H_{κ} ⊧ ZF C für unerreichbares κ (Gödels 2. Unvollständigkeitssatz!).

Satz (Solovay, 64). Con(ZF C + es gibt eine unerreichbare Kardinalzahl) ⇒ Con(ZF C+ alle projektiven Mengen reeller Zahlen sind Lebesgue-meßbar).

Satz (Shelah, 79). Con(ZF C+ alle projektiven Mengen reeller Zahlen sind Lebesgue-meß-bar) ⇒ Con(ZF C + es gibt eine unerreichbare Kardinalzahl)

Damit sind

(a) ZF C+ alle projektiven Mengen reeller Zahlen sind Lebesgue-meßbar und

(b) ZF C+ es gibt eine unerreichbare Kardinalzahl äquikonsistente Theorien.

Beweis von Solovays Satz: Sei V ⊧ κ ist eine unerreichbare Kardinalzahl. Sei G Col(ω, < κ)-generisch über V. Zeige sodann: V [G] ⊧ alle projektiven Mengen reeller Zahlen sind Lebesgue-meßbar.

Beweis von Shelahs Satz: Sei V ⊧ alle projektiven Mengen reeller Zahlen sind Lebesgue-meßbar. Konstruiere Gödels L (in V). Zeige sodann: L ⊧ ω_{1}^{V} ist eine unerreichbare Kardinalzahl.

Projektive Determiniertheit

Sei A ⊂ [0, 1]. Betrachte:

\begin{matrix}I & n_{0} & & n_{2} & & ... \\ II & & n_{1} & & n_{3} & & ... \end{matrix}

Regel: n_{i} ∈ {0, 1} für alle i ∈ ℕ. I gewinnt das Spiel G(A) gdw. ∑_{i=0}^{∞} \frac{n_{i}}{2^{i+1}} ∈ A. Für jedes A kann höchstens einer der beiden Spieler eine Gewinnstrategie in G(A) besitzen. ℝ kann wohlgeordnet werden ⇒ es gibt A, so daß keiner der beiden Spieler eine Gewinnstrategie in G(A) besitzt.

Satz (Martin, 75). Sei A ⊂ [0, 1] eine Borel-Menge. Dann besitzt I oder II eine Gewinnstrategie in G(A).

Projektive Determiniertheit (PD): Sei A ⊂ [0, 1] eine projektive Menge. Dann besitzt I oder II eine Gewinnstrategie in G(A).

Satz (ZFC + PD, Mycielski + Swierczkowski, 64). Jede projektive Menge A ⊂ ℝ ist Lebesgue-meßbar.

Die Eigenschaft von Baire

Def. A ⊂ ℝ hat die Eigenschaft von Baire gdw.: es gibt eine offene Menge G, so daß A △ G mager (= eine abzählbare Vereinigung nirgends dichter Mengen) ist.

Satz (Luzin + Sierpinski, 23). Jede analytische Menge A ⊂ ℝ hat die Eigenschaft von Baire.

Satz (ZFC + PD, Mazur, 57). Jede projektive Menge A ⊂ ℝ hat die Eigenschaft von Baire.

Uniformisierung

Def. Sei A ⊂ ℝ^{2}. Eine partielle Funktion F: ℝ → ℝ heißt Uniformisierungsfunktion gdw. für alle x: ∃y(x, y) ∈ A ⇒ (x, F (x)) ∈ A.

Projektive Uniformisierung: Jedes projektive A ⊂ ℝ^{2} besitzt eine Uniformisierungsfunktion mit projektivem Graph.

Satz (ZFC + PD, Moschovakis, 71). Projektive Uniformisierung gilt.

Frage (Woodin, 81): Angenommen, jedes projektive A ⊂ ℝ ist Lebesgue-meßbar, jedes projektive A ⊂ ℝ hat die Eigenschaft von Baire und Projektive Uniformisierung gilt. Gilt dann auch Projektive Determiniertheit?

Frage wurde als das 12. Delfino-Problem bekannt. Sie war 16 Jahre lang offen.

Def. π: V → M heißt eine elementare Einbettung gdw. π”V ≺ M.

Def. Sei α eine Kardinalzahl. Eine Kardinalzahl κ heißt α-stark gdw. für jedes X ∈ H_{α} ein Inneres Modell M und eine elementare Einbettung π: V → M existieren, so daß κ der kritische Punkt von π ist und X ∈ M. (Hier: V = die Klasse aller Mengen.)

Def. κ ist eine meßbare Kardinalzahl gdw. κ κ^{+} -stark ist.

Es gibt eine meßbare Kardinalzahl gdw.: es gibt ein σ-vollständiges zweiwertiges nicht-triviales Maß auf einer Menge. (Ein solches Maß existiert nicht auf ℝ.)

Satz (Steel, 97; Schindler, 00). Die folgenden Theorien sind äquikonsistent.

(A) ZF C+ jedes projektive A ⊂ ℝ ist Lebesguemeßbar und hat die Eigenschaft von Baire und Projektive Uniformisierung gilt.

(B) ZF C+ es existiert eine unendliche Folge κ_{0} < κ_{1} < κ_{2} < ... von Kardinalzahlen mit Supremum λ, so daß jedes κ_{n} λ^{+} -stark ist.

Korollar. Die Antwort auf Woodins Frage lautet “nein”.

Beweis des Korollars aus dem Satz:

Angenommen, die Antwort lautet “ja”, d.h. aus (A) folgt P D.

Woodin: ZF C + P D impliziert Con(ZF C+ es gibt eine Woodin-Kardinalzahl). Insbesondere: ZF C + P D impliziert Con(B). Aber Con(B) ⇔ Con(A). Nach Annahme, Con(A) ⇒ Con(ZF C + P D).

Haben gezeigt: ZF C +P D ⇒ Con(ZF C +P D). Widerspruch zu Gödels 2. Unvollständigkeitssatz!

Beweis von Con(B) ⇒ Con(A) (Steel):

Sei V ⊧ es existiert eine unendliche Folge κ_{0} < κ_{1} < κ_{2} < ... von Kardinalzahlen mit Supremum λ, so daß jedes κ_{n} λ^{+} -stark ist.

Sei G Col(ω, λ)-generisch über V. Dann gilt in V [G], daß jedes projektive A ⊂ ℝ Lebesgue-meßbar ist und die Eigenschaft von Baire hat.

Wenn V von einer speziellen Form ist, dann gilt in V [G] sogar Projektive Uniformisierung. Genauer: V muß ein Kernmodell sein.

Beweis von Con(A) ⇒ Con(B) (Schindler):

Sei V ⊧ jedes projektive A ⊂ ℝ ist Lebesguemeßbar und hat die Eigenschaft von Baire und Projektive Uniformisierung gilt.

Es genügt folgendes zu zeigen. Es gibt ein Inneres Modell W, so daß für eine unendliche Folge κ_{0} < κ_{1} < κ_{2} < ... < ω_{1}^{V} gilt: jedes κ_{n} ist ω_{1}^{V} -stark.

Naheliegender Kandidat: W = L. Problem:

Satz (Scott, 61). Gödels L kann keine meßbare Kardinalzahl enthalten.

Richtiger Kandidat: W = ein Kernmodell.

Kernmodelle

Kernmodelle sind Verallgemeinerungen von L, die meßbare Kardinalzahlen enthalten können. Sie enthalten “so viele meßbare Kardinalzahlen wie möglich”.

Kernmodelle wurden in den vergangenen 25 Jahren konstruiert zuerst von Dodd + Jensen, sodann von Koepke, Mitchell, Jensen und von Steel.

Für den vorliegenden Zweck war jedoch die Konstruktion einer völlig neuen Familie von Kernmodellen vonnöten.

1. Schritt im Beweis von Con(A) ⇒ Con(B): konstruiere ein geeignetes Kernmodell, K. K ist von der Form L[E] für ein gewisses E. Sei E zunächst eine beliebige Klasse. L_{0}[E] = ∅ L_{α+1} [E] = Menge aller über L_{α}[E] mit Hilfe

von Parametern aus L_{α}[E] und einem Prädikat für E definierbaren Teilmengen von L_{α}[E]

L_{λ}[E] = ⋃_{α<λ} L_{α}[E] für Limeszahlen λ L[E] = ⋃_{α} L_{α}[E] Satz. L[E] ist ein Modell von ZF C.

Welches ist das geeignete E?

E kodiert eine sorgfältig ausgewählte maximale Folge (π_{α} | α ∈ OR) von elementaren Einbettungen:

π_{α}: L[E ↾ α] → L[Ẽ] für ein Ẽ.

• Die Existenz einer solchen maximalen Folge kann nur gezeigt werden, wenn man eine Anti-Große-Kardinalzahl-Annahme macht; hier: in keinem Inneren Modell gibt es ein meßbares λ mit unbeschränkt vielen λ-starken Kardinalzahlen κ < λ.

• “Sorgfältig ausgewählt” soll heißen, daß L[E] eine Feinstruktur besitzt. Sie führt dazu, daß L[E] sehr detailliert studiert werden kann. Feinstrukturtheorien gehen zurück auf Jensen.

Die Konstruktion von K = L[E] erfolgt dann in mehreren Stufen:

• Konstruiere K^{c}, das “ω-vollständige” Kernmodell, eine Vorversion von K

• Zeige, unter Verwendung der Anti-Große-Kardinalzahlannahme, daß κ^{+K^{c}} = κ^{+} für alle singulären Kardinalzahlen κ (“Schwacher Überdeckungssatz”)

• Isoliere K als transitiven Kollaps einer Hülle von K^{c}, die durch den Schwachen Überdeckungssatz gegeben wird Dies führt zu:

Satz (Schindler, 00). Angenommen, in keinem Inneren Modell gibt es ein meßbares λ mit unbeschränkt vielen λ-starken Kardinalzahlen κ < λ. Dann existiert das Kernmodell K = L[E]. Es gilt: wenn

π: K → L[Ẽ]

für ein Ẽ, dann enthält E einen Code für π.

2. Schritt im Beweis von Con(A) ⇒ Con(B): zeige, daß für eine unendliche Folge κ_{0} < κ_{1} < κ_{2} < ... < ω_{1}^{V} gilt: jedes κ_{n} ist ω_{1}^{V} -stark.

Zentrales Hilfsmittel:

Satz (Schindler, 97). Angenommen, das Kernmodell K = L[E] existiert. Wenn

{κ < ω_{1}^{V} | L[E] ⊧ κ ist ω_{1}^{V} −stark }

endlich ist, dann ist L_{ω_{1}^{V}} [E] projektiv.